垂径定理教案初中数学垂径定理答题格式-摇篮网

垂径定理怎么证

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。

见下图：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，求证：CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。

证明：连接OC、OD。则OC=OD

∵AB⊥CD，∴CE=DE，∠COE=∠DOE（等腰三角形三线合一），∴弧BC=弧BD（等角对等弧），∠AOE=∠AOD（等角的补角相等），∴弧AC=弧AD。

垂径定理证明过程

垂径定理是圆的基本性质之一。下面是垂径定理的证明步骤：

设圆的圆心为O，直径为AB，过点C作AB的垂线，交圆于点D。需证明CD是OD的垂线。

证明过程：

1.连接OC，OD，OA三条线段。

2.∠OAD=90°，因为直径AB的两个端点A，B都在圆上，所以OA和OB是圆的半径，且OD是弦的垂线，所以∠OAD=90°。

3.∠OCD=90°，因为CD是直径AB上的垂线，所以∠OCD=90°。

4.∠COD=90°，结合步骤2和步骤3可以得出∠COD=90°，因为OC和OD都是以O为圆心的半径。

5.因为∠OCD=90°，所以OC⊥CD。

6.设OE⊥CD，交OC于点F，则OF是直径AB上的垂线，因为直径的两个垂线是平行的，所以OF平行于CD。

7.因为OF平行于CD，OE⊥CD，所以∠OEF=∠OCD=90°，所以OE是以O为圆心的半径。

8.因为OE是以O为圆心的半径，所以OD=OE。

9.结合步骤5和步骤8可以得出CD⊥OD，所以CD是OD的垂线。

因此，垂径定理得证，即：在圆上，过任意一点作圆的直径，垂直于直径的线段称为该点在圆上的垂径，任意一条直径上的垂径都互相垂直。

垂径定理推论详解

垂径定理是垂直与弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两段弧

推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦并且平分这条弦所对的两段弧

推论二弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧

推论三平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四在同圆或者等圆中两条平行弦所夹的弧相等

（证明时的理论依据就是上面的五条定理）

但是在做不需要写证明过程的题目中可以用下面的方法进行判断：

在5个条件中：

1平分弦所对的一条弧

2平分弦所对的另一条弧

3平分弦

4垂直于弦

5经过圆心（或者说直径）

只要具备任意两个条件就可以推出其他的三个结论

垂径定理推论

[定义]垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧