一次函数的图像和性质教案？偏对称函数知识点-摇篮网

初中数学教师资格证考的内容

包括数学知识、教学原理、教育法律法规等方面。其中数学知识覆盖初中数学课程的各个方面，包括数与式、代数、函数、几何、统计与概率等；教学原理则包括教育心理学、教育技术学、教学方法等；教育法律法规则包括了我国的相关法律法规和政策文件。初中数学教师资格证考试的要求相当严格，要求考生具有扎实的数学基础、教育理论和实践经验，能够熟练运用各种教学方法，掌握一定的教学技能。通过考试取得证书后，考生可以正式从事初中数学教学工作。

偏对称函数知识点

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是

f(x)+f(2a－x)=2b

证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0

定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)

定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，

∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P'（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).

∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，

f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；

又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国高考理)(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=

解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+

∴x=－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选(A)

例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，

f(x)=x，则f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)

想考高中数学的教师资格证，该如何备考

非常荣幸能回答您的问题！我现在是一名数学教师，在2018年3月份曾参加了全国教师资格证考试并且一次性顺利通过了笔试和面试。现在就我当时备考的经验简单分析以下三点心得：

1、认真准备、预留好备考时间；对于高中数学学科的话，教师资格证笔试科目为《综合素质》、《教育知识与能力》、《学科知识与教学能力》三门，所以说考试科目还是比较多的，一定要提前准备并且根据自己的学习计划预留出宽松的备考时间。《学科知识与教学能力》的考试内容不仅涉及高中数学的基础知识，而且也会考察大学阶段的学科内容像《高等代数》、《数学分析》中的基础知识，其它两门笔试科目与非数学科目是一样的。所以在备考上一定要认真准备，做到心中有数。

2、思想上要重视；许多人说只要过了教师资格证笔试，面试就很轻松了，这句话我并不认同。目前比较可信的数据是《中国教育报》统计显示在2019年11月份之前已经举办的11次全国教师资格证中，累积参加面试192万人，通过面试134万，通过率在69%左右。但需要注意的是面试虽然是“统考”，但各省市通过率并不一样，这可能是受面试题型、面试人员素质、评判标准和各省教师需求量不同的影响。所以，对于面试还是要好好重视起来。对于高中数学的面试来说，面试过程除了对抽签试讲内容进行试讲外还要进行现场答辩，也就是提问环节。所以，备考阶段要熟悉高中数学的所有重要知识点，并且还要准备答辩环节可能被问到的问题构思自己的一套回答技巧。

3、注重效率、劳逸结合；备考阶段一定要注重效率，合理分配好各个科目的学习时间。另外也要劳逸结合，充满信心、相信自己！虽然战术上要重视，但战略上还要藐视，认真准备，科学备考，一定会通过的！祝你早日拿到证件并顺利成为一名优秀的数学老师！??

学高一数学为什么那么难

主要原因在于高中数学相比初中数学更抽象，更灵活。大多数学生上课能听懂，但课后完成作业存在很大的困难…解决这个难题的办法很简单：（1）上课不仅要满足听懂还要自己勤思考，一定要跟着老师的上课思路走；（2）吃透例题、勤做配套习题。（3）不畏艰难，慢慢适应高中数学的“套路”，磨合期一过，高中数学其实也不难。